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Lügnerparadox: paradoxe Logik widerspruchsfrei möglich?

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Nach vielen Ansätzen bin ich (wieder einmal) zum Lügnerparadox (L:= " Diese Aussage L ist nicht wahr") fündig geworden, u.a. am 1. April 2005 ...

Bisher habe ich meist selbst die Prrobleme und Widersprüche in meinen Ansätzen aufgedeckt, aber vielleicht hat ja jemand von Euch Spaß daran?

Ausgangspunkt war folgende Überlegung/Intuition:
Bei der klassisch-logischen Analyse der obigen Lügneraussage macht man folgende Überlegungen:

1) Wenn L nicht wahr ist, dann ist L gemäß Definition wahr.
In Zeichen: 1a) L -w ->(Def.) L w,
andererseits gilt 1b) L -w -> (stets) L -w.
1a + 1b -> L -w -> L w und L -w (dies ist ein Widerspruch!)

2) Analoges gilt wenn L wahr ist:
2a) L w ->(Def) L -w,
2b) L w ->(stets) L w,
also L w -> L w und L -w (Widerspruch!)

Beide möglichen Annahmen 1) und 2) führen auf einen Widerspruch,
daher wird L in klassischer Aussagenlogik meist nicht als zulässige Aussage angesehen.

Dies gefällt mir nicht, und ich versuch(t)e ausfindig zu machen, was an der Logik zu ändern wäre, um L als (fast) normale Aussage behandeln zu können.
Dabei fiel mir auf, dass erst unsere jeweilige Annahme eines Wahrheitswertes bei 1) und 2) zu einem Widerspruch führt.
Da mir die "Substanz von L" jeweils in 1a und 2a zu stecken schien, betrachtete ich 1b) und 2b) genauer.

Warum muss eine Aussage eigentlich stets wahr sein, wenn wir einmal angenommen haben, dass sie wahr wäre? Vielleicht verändern sich ja Wahrheitswerte beim Schlußfolgern aus Hypothesen?
Und offensichtlich geschieht dies bei L ja ...


Streicht man nun 1 a und 1 b aus der Aussagenlogik (als stillschweigendes Vorurteil ...), könnte man fürchten, dass nun das Chaos ausbricht. Dies scheint aber nicht zu sein, im Gegenteil lässt sich die klassische Logik als Teilgebiet retten und man bekommt noch Argumentationsräume (die Welt der bisherigen Paradoxien) hinzu, ähnlich wie bei den reellen und komplexen Zahlen.

Bisher habe ich nur die Grundregeln ausgearbeitet:

1) Jede Aussage ist (je Analyseschritt) entweder wahr oder falsch.

2) Der Wahrheitswert von Aussagen kann sich beim Schlussfolgern (nur?) wie folgt verändern:


2a) (Annahme) K wahr -> K wahr und (Annahme) K nicht wahr -> K nicht wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitstreu" oder "klassisch".
Kurz: Kw <-> Kw (und K-w <-> K -w)

2b) (Annahme) L wahr -> L nicht wahr und (Annahme) L nicht wahr -> L wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitsvariant" oder "paradox".
Kurz: Lw <-> L-w


Jetz müssten noch die üblichen Schlussregeln aufgestellt und angepasst werden, und unsere neue "paradoxe Logik" wäre fertig.
Bei nur klassischen Aussagen kann man dabei die klassischen Regeln weitergelten lassen.

Ein kleines Beispiel:

In klassischer Logik gilt: Aw -> Bw und Bw -> Cw dann Aw -> Cw.
Bei paradoxer Logik: Falls B klassisch ist, gilt Aw -> Bw <-> Bw -> Cw, also(?) Aw -> Cw.
Falls B aber paradox , gilt Aw -> C -w, zumindest wenn B-w -> C-w gilt.

Grundidee paradoxer Logik:
Der Wahrheitswert hypothetischer Aussagen kann sich beim logischen Schließen verändern, muss also "vor" dem Pfeil "->" nicht den gleichen Wert haben wie "danach" (an der Spitzenseite). Durch unser Folgern verändern wir die Wahrheitswerte, aber in berechenbarer Weise.


Dadurch sind viel mehr Aussagen zulässig, und die meisten klassischen Widerspruchsbeweise in Logik/Mengenlehre/Mathematik/Informatik können neu interpretiert werden.
Meist sind es jetzt nur noch Existenzbeweise für in obigem Sinne echt "paradoxe" Aussagen, aber diese sind eben nicht mehr widersprüchlich!

Z.B. wäre schön, wenn das Halteproblem in der Informatik paradox lösbar wäre, noch schöner wenn das notwendig paradoxe Lösungsprogramm für klassische Programme eine klassische Lösung liefern würde.
(Dabei müsste man paradoxen Programmen Hypothesen als Parameter mitgeben?).

Etwas weniger schön wäre (zumindest für mich), wenn die paradoxe Logik selbst widersprüchlich wäre, aber dann geht die Suche eben weiter ...

Gruß
Trestone
 

Benkei

Geheimer Meister
10. September 2004
447
Die Wahrheit stirbt zuletzt


Der Richter zum Morituren:
"Wenn Du lügst, wirst Du langsam sterben.
wenn Du die Wahrheit sagst, wirst Du schnell sterben.
Also, wie wirst Du sterben?
-Ich werde langsam sterben."


Hat er die Wahrheit gesagt?
Wie wird er nun wohl sterben?
 

SentByGod

Großer Auserwählter
10. April 2002
1.675
Menschenverstand gegen mathematische Logik. Bin eher für den Verstand als für diese Art der Logik.
 

Ehemaliger_User

Beatus ille, qui procul negotiis.
10. April 2002
29.051
Re: Die Wahrheit stirbt zuletzt

Benkei schrieb:

Der Richter zum Morituren:
"Wenn Du lügst, wirst Du langsam sterben.
wenn Du die Wahrheit sagst, wirst Du schnell sterben.
Also, wie wirst Du sterben?
-Ich werde langsam sterben."


Hat er die Wahrheit gesagt?
Wie wird er nun wohl sterben?

Er wird langsam sterben, da er soeben zugegeben hat, vorher gelogen zu haben. Hat er vorher doch nicht gelogen, so hat er es mit seiner jetzigen Aussage getan. Ergebnis: Er wird langsam sterben. Daran ist nichts paradox.
 

Heuli

Geheimer Meister
26. Juli 2002
318
Was ich nicht verstanden habe:

Woran definierst du eine Aussage als "klassisch", woran als "paradox"?

Beispiel: Ich bin ein Brötchen. Ist diese Aussage klassisch oder paradox? Warum?
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Re: Die Wahrheit stirbt zuletzt

Benkei schrieb:

Der Richter zum Morituren:
"Wenn Du lügst, wirst Du langsam sterben.
wenn Du die Wahrheit sagst, wirst Du schnell sterben.
Also, wie wirst Du sterben?
-Ich werde langsam sterben."


Hat er die Wahrheit gesagt?
Wie wird er nun wohl sterben?

Ein (logisch) schönes Beispiel!

Bei der Analyse mit paradoxer Logik müssen wir die Begriffe etwas präziser fassen:
Wann wird die Lüge festgestellt, unmittelbar bei der Antwort oder erst nach der Hinrichtung? Ich wähle die erste Variante.

Wie wir oben gesehen haben, kann der Wahrheitswert einer Aussage vor dem Folgepfeil anders als dahinter sein, frei nach Wilhelm Busch "Und erstens kommt es anders, und zweitens als man denkt".
Davon macht nun unser (fieser) Richter Gebrauch:

Wird unser Moriturer etwa durch einen (Folge-)Pfeil hingerichtet, so sagt ihm der Richter beim Abschuss des Pfeiles, dass er schnell sterben wird, dies bedeutet aber leider, dass er nach Ankunft des Pfeiles langsam sterben wird, denn die Art des Sterbens ist hier paradox...

Evtl. habe ich die tiefe des Beispiels noch nicht ganz ausgelotet (es ist 6 Uhr morgens...), aber das Prinzip sollte verständlich sein.
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Heuli schrieb:
Was ich nicht verstanden habe:

Woran definierst du eine Aussage als "klassisch", woran als "paradox"?

Beispiel: Ich bin ein Brötchen. Ist diese Aussage klassisch oder paradox? Warum?

Leider(?!) ein gute Frage!

Allgemeine Regeln für die Unterscheidung kenne ich noch nicht, bisher gehe ich entweder intuitiv vor - oder wir haben schon Informationen zum scheinbar widersprüchlichen Verhalten von Aussagen bei rein klassischer Logik, diese sind dann oft nur "paradox".

Das obige Brötchenbeispiel erscheint mir halbparadox:
Wenn ich ein Brötchen bin, kann ich mir diese Frage nicht stellen und bin wohl kein Brötchen. Aber wenn ich kein Brötchen bin, folgt daraus kaum, dass ich ein Brötchen bin. Vielleicht gibt es doch noch mehr Aussagearten als klassisch und paradox?
Aber ich fürchte, die Unterscheidung zwischen klassisch und paradox ist schon schwierig genug ...
 

Benkei

Geheimer Meister
10. September 2004
447
Re: Die Wahrheit stirbt zuletzt

EVO schrieb:
Benkei schrieb:

Der Richter zum Morituren:
"Wenn Du lügst, wirst Du langsam sterben.
wenn Du die Wahrheit sagst, wirst Du schnell sterben.
Also, wie wirst Du sterben?
-Ich werde langsam sterben."


Hat er die Wahrheit gesagt?
Wie wird er nun wohl sterben?

Er wird langsam sterben, da er soeben zugegeben hat, vorher gelogen zu haben. Hat er vorher doch nicht gelogen, so hat er es mit seiner jetzigen Aussage getan. Ergebnis: Er wird langsam sterben. Daran ist nichts paradox.
Wenn er langsam sterben wird, und dann tatsächlich langsam stirbt, dann hat er ja bezüglich der Art zu sterben (und hierum geht es) die Wahrheit gesagt.
Wenn er aber die Wahrheit bezüglich der Art zu sterben sagt, dann sollte er ja eigentlich schnell sterben...
 

hives

Ritter Rosenkreuzer
20. März 2003
2.785
Re: Lügnerparadox:paradoxe Logik widerspruchsfrei möglich?

Trestone schrieb:
Beide möglichen Annahmen 1) und 2) führen auf einen Widerspruch,
daher wird L in klassischer Aussagenlogik meist nicht als zulässige Aussage angesehen.
Allgemein gab es ja viele Versuche, das Lügnerparadoxon aufzulösen.
Der bekannteste neuzeitliche ist wohl derjenige von Tarski, der schon in der Formulierung eine Verwechslung von Objekt- und Metasprache erkennt.
Tarski zufolge muss Selbstbezüglichkeit ausgeschlossen werden, und ein Satz kann strengenommen nichts über die Wahrheit einer Aussage in derselben Sprachstufe aussagen. Es kann nur in der Metasprache Aussagen über die Wahrheit von Sätzen der Objektsprache geben...


Dabei fiel mir auf, dass erst unsere jeweilige Annahme eines Wahrheitswertes bei 1) und 2) zu einem Widerspruch führt.

Ja. Und vorher müssen wir den Satz eben noch als zulässig deklarieren ;)

Warum muss eine Aussage eigentlich stets wahr sein, wenn wir einmal angenommen haben, dass sie wahr wäre? Vielleicht verändern sich ja Wahrheitswerte beim Schlußfolgern aus Hypothesen?
Und offensichtlich geschieht dies bei L ja ...
Eigentlich kann ich nicht erkennen, dass sich da irgendetwas verändert.
Man kann die vermeintliche Paradoxie auch als die Betrachtung verschiedener Aspekte von unzulässigen weil selbstbezüglichen Aussagen verstehen.

Und nach welchen Kriterien verändern sich deiner Ansicht nach die Wahrheitswerte? Das scheint mir doch sehr willkürlich.


Bisher habe ich nur die Grundregeln ausgearbeitet:

1) Jede Aussage ist (je Analyseschritt) entweder wahr oder falsch.

2) Der Wahrheitswert von Aussagen kann sich beim Schlussfolgern (nur?) wie folgt verändern:


2a) (Annahme) K wahr -> K wahr und (Annahme) K nicht wahr -> K nicht wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitstreu" oder "klassisch".
Kurz: Kw <-> Kw (und K-w <-> K -w)

2b) (Annahme) L wahr -> L nicht wahr und (Annahme) L nicht wahr -> L wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitsvariant" oder "paradox".
Kurz: Lw <-> L-w
Wann verändert sich denn der Wahrheitswert nach 2a und 2b? Dass er sich verändern kann ist imho keine besonders nützliche Regel...

In klassischer Logik gilt: Aw -> Bw und Bw -> Cw dann Aw -> Cw.
Bei paradoxer Logik: Falls B klassisch ist, gilt Aw -> Bw <-> Bw -> Cw, also(?) Aw -> Cw.
Falls B aber paradox , gilt Aw -> C -w, zumindest wenn B-w -> C-w gilt.

Oder aber es gilt Aw -> Cw, weil entweder Aw -> B-w und B-w -> Cw oder aber Aw -> Bw und Bw -> Cw gilt...


Grundidee paradoxer Logik:
Der Wahrheitswert hypothetischer Aussagen kann sich beim logischen Schließen verändern, muss also "vor" dem Pfeil "->" nicht den gleichen Wert haben wie "danach" (an der Spitzenseite). Durch unser Folgern verändern wir die Wahrheitswerte, aber in berechenbarer Weise.

Wenn sich der Wahrheitswert ändern kann, sehe ich da eigentlich keine Weise der Berechnung.
Oder habe ich dich irgendwie missverstanden? :gruebel:

Etwas weniger schön wäre (zumindest für mich), wenn die paradoxe Logik selbst widersprüchlich wäre, aber dann geht die Suche eben weiter ...

Sie spricht ja bisher nur vom Können 8)


mfg
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Nocheinmal zu meinem Ansatzpunkt:

Mein Ziel ist es gerade die Lügneraussage L:= Diese Aussage ist nicht wahr" nicht durch Analysen zu verbieten, sondern die Logik so anzupassen, dass diese Aussage ganz selbverständlich dazugehört und auch jeweils einen Wahrheitswert bekommt.
Vielleicht noch radikaler als mehrwertige Logiken unterscheide ich dabei zwischen dem Wahrheitswert vor und nach einer Schlussfolgerung.
Daher lösen sich die Widersprüche dann auf, denn vor und nach dem Folgepfeil "->" unterschiedliche Werte zu haben ist zwar ungewohnt, aber nicht (neu-)logisch widersprüchlich...

Eine spannende Frage wurde ja schon gestellt: Wie erkennt man, wann der Folgepfeil wie in klassischer Logik nichts an den Wahrheitswerten ändert und wann hat man paradoxe Aussagen, die alles umdrehen?

Nun ich hoffe, dass dies wieder eine konstante Eigenschaft von Aussagen ist, d.h nur einmal ermittelt werden muss und dann gilt und folgerichtig weiter "berechnet" oder geschlossen werden kann.

Ein Beispiel für paradox kennen wir schon, nämlich L.
Analog kann man wohl "K:= Diese Aussage K ist wahr" als klassisches Beispiel nehmen, obwohl diese Aussage wahr ist, wenn wir sie als wahr annehmen und falsch wenn angenommen falsch, was ja nicht ganz das klassische Verhalten ist ...

Ganz spannend ist, welche Aussagen der Mathematik klassisch sind
(z.B. 1+1=2?). Mir erscheint plausibel, dass es in der Arithmetik paradoxe Aussagen geben muss, denn so ist Gödels Unvollständigkeitssatz wohl in paradoxer Logik zu interpretieren.

Noch spannender als was klassisch und was paradox ist, wäre zu wissen,
was und wie der Übergang geschieht. denn auch die paradoxe Logik befasst sich nur mit Ursprung und Ziel des Folgepfeils, der spannende Übergang (Metamorphose/Verwandlung) wird übersprungen.
Das wäre/ist wie eine Physik nur mit Teilchen ohne Wellen.

Frei nach dem TAO-DE-KING:
Die Frage nach Ursprung und Ziel beschäftigt die Menschen, Lebenskunst besteht in der Verwandlung dazwischen.
 

hives

Ritter Rosenkreuzer
20. März 2003
2.785
Trestone schrieb:
Nun ich hoffe, dass dies wieder eine konstante Eigenschaft von Aussagen ist, d.h nur einmal ermittelt werden muss und dann gilt und folgerichtig weiter "berechnet" oder geschlossen werden kann.
Dann müsste eine paradoxe Aussage allerdings bei jeder Operation den Wahrheitswert ändern, was ja eben gerade nicht der Fall sein sollte bzw. kann - wenn ich deine Ausführungen denn richtig interpretiere.

:gruebel:
 

Heuli

Geheimer Meister
26. Juli 2002
318
Trestone schrieb:
Heuli schrieb:
Was ich nicht verstanden habe:

Woran definierst du eine Aussage als "klassisch", woran als "paradox"?

Beispiel: Ich bin ein Brötchen. Ist diese Aussage klassisch oder paradox? Warum?

Leider(?!) ein gute Frage!

Allgemeine Regeln für die Unterscheidung kenne ich noch nicht, bisher gehe ich entweder intuitiv vor - oder wir haben schon Informationen zum scheinbar widersprüchlichen Verhalten von Aussagen bei rein klassischer Logik, diese sind dann oft nur "paradox".

Dann ist's ja reichlich unnütz, nicht? Rechnen wa mal und wenn's komisch aussieht, beschönigen wir die Rechnung solange, bis das Paradoxon "aufgelöst" ist? Man könnte auch einfach feststellen, dass das Lügnerparadox gar kein logisches Problem darstellt. Der Satz "Dieser Satz ist falsch" ist keine gültige Aussage, da er keinen eindeutig feststellbaren Wahrheitsgehalt hat. Wozu sich dann weiter damit beschäftigen?
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
hives schrieb:
Trestone schrieb:
Nun ich hoffe, dass dies wieder eine konstante Eigenschaft von Aussagen ist, d.h nur einmal ermittelt werden muss und dann gilt und folgerichtig weiter "berechnet" oder geschlossen werden kann.
Dann müsste eine paradoxe Aussage allerdings bei jeder Operation den Wahrheitswert ändern, was ja eben gerade nicht der Fall sein sollte bzw. kann - wenn ich deine Ausführungen denn richtig interpretiere.

:gruebel:

Eine paradoxe Aussage ändert bei jeder Operation mit Folgepfeil ihren Wahrheitswert.

Übrigens war ich zu optimistisch, was die Konstanz der Eigenschaft "paradox" bzw "klassisch" betrifft:
Um sie zu sichern, brauche ich noch eine analoge Doppeleigenschaft auf der nächsten Metaebene usw.

Für Mathematiker: Die Lügneraussage L lässt sich auf Metaebene n+1 als Aussage L(n+1) verallgemeinern.
Jede Aussage ist nicht nut wahr oder nicht wahr und klassisch oder paradox (= nicht klassisch) sondern wenn wahr = w(0) , klassisch = w(1) usw. gilt:

L(n+1) w(0) := L(n+1)w(0) und L(n+1)w(1) und ... und L(n+1)w(n) und L(n+1) -w(n+1) .

Es gibt also eine unendliche Stufung von Wahrheitseigenschaften, von denen w(0) = wahr uns am vertrautesten ist (sowie w(1) = klassisch).

Allerdings können wir von den meisten Aussagen (oder keiner?) alle Wahrheitseigenschaften kennen, da wir selbst wohl endliche Wesen sind...

Obige Ansätze habe ich noch nicht streng bewiesen, mehr intuitiv geschlossen.
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Bramanti schrieb:
Trestone schrieb:
Frei nach dem TAO-DE-KING:
Die Frage nach Ursprung und Ziel beschäftigt die Menschen, Lebenskunst besteht in der Verwandlung dazwischen.

In welchem Spruch steht das? 8O

Die Betonung liegt auf frei nach ...

Ich dachte z.B. an Strophe 11 (nach Richard Wilhelm):

Dreißig Speichen umgeben eine Nabe:
In ihrem Nichts besteht des Wagens Werk.
Man höhlet Ton und bildet ihn zu Töpfen:
In ihrem Nichts besteht des Töpfe Werk.
Man gräbt Türen und Fenster, damit die Kammer werde:
In ihrem Nichts besteht der Kammer Werk.
Darum: Was ist, dient zum Besitz.
Was nicht ist, dient zum Werk.

Dazu noch das berühmte "der Weg ist das Ziel",
das ich aber eben beim Nachgucken nicht fand.
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Hier noch eine schöne Analogie, die wohl nicht ganz zufällig ist, da ich mich von physikalischen Theorien anregen ließ:

Physik <-> Logik
Teilchen <-> Aussage
Antiteilchen <-> negierte Aussage

Eigenschaft (diskret) <-> Wahrheitswert (wahr , nicht wahr) bzw. w(n) , -w(n)

Die klassische Logik kann man mit einer Zwei-Teilchenphysik vergleichen,
(nur Elektronen und Protonen (=Antielektronen)).
Denn alle Aussagen sind logisch zu "wahr" oder "nicht wahr" äquivalent.

Paradoxe Logik Stufe 1 kennt vier Aussagenklassen:
wahr und klassisch, falsch und klassisch, wahr und paradox, falsch und paradox.

Paradoxe Logik Stufe 2 kennt unendlich viele Aussagenklassen ("Teilchenarten").
Aber vielleicht kann man ja auch logische Quarks finden, die bei Analyse nicht weitere Wahrheitswerte nach sich ziehen...
 

Heuli

Geheimer Meister
26. Juli 2002
318
Trestone schrieb:
(nur Elektronen und Protonen (=Antielektronen)).

Das Antiteilchen des Elektrons ist ein Positron, das des Protons ein Antiproton.

Zum Restposting: Hä?! Ich find das äußerst wirr und unverständlich, was du da erzählst. Was willst du uns eigentlich sagen? Und wozu ist es gut?
 

Trestone

Geheimer Meister
12. April 2002
306
Heuli schrieb:
Trestone schrieb:
(nur Elektronen und Protonen (=Antielektronen)).

Das Antiteilchen des Elektrons ist ein Positron, das des Protons ein Antiproton.

Zum Restposting: Hä?! Ich find das äußerst wirr und unverständlich, was du da erzählst. Was willst du uns eigentlich sagen? Und wozu ist es gut?

Das mit dem Proton als Antielektron war schon ernst gemeint.
In einer fiktiven früh-/sehr einfachen Physik hätte man ein solches Modell haben können. Dass wir es heute anders sehen können verdanken wir unseren verfeinerten Begriffen/Gedankenmodellen.
Genau das gleiche versuche ich für die Logik.

Im (unwahrscheinlichen) Idealfall kann man mit der neuen Logik bisher unlösbare Probleme lösen (z.B. das Halteproblem in der Informatik oder eine widerspruchsfreie Begründung der Mathematik.
Auch die Physik argumentiert übrigens manchmal logisch und macht Widerspruchsbeweise (z.B Bellsche Ungleichung), die dann neu zu bewerten wären.

Im (wahrscheinlichen) schlechten Fall können wir innere Widersprüche in meiner Logik finden und haben so vielleicht auch wieder mehr über die klassische Logik gelernt.

Evtl. gilt aber weder der erste noch der letzte Fall, z.B. wenn wir den Beweis der Fehlerhaftigkeit nicht finden können obwohl es so ist ...
 

Heuli

Geheimer Meister
26. Juli 2002
318
Trestone schrieb:
[...]oder eine widerspruchsfreie Begründung der Mathematik.[...]

Gödelscher Unvollständigkeitssatz - you lose. :)

Naja, ansonsten warte ich mal auf erste verwertbare Ergebnisse. Viel Glück weiterhin. ;)
 

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