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Berechnung einer Polygonfläche

Dies ist eine Diskussion zum Thema "Berechnung einer Polygonfläche" im "Neues aus Forschung und Entwicklung" des Bereiches "Wissenschaftliches"

  1. #7
    Vorgesetzter und Richter
    Registriert seit
    11.09.2004
    Ort
    Wuppertal
    Beiträge
    913

    Standard


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    Die Frage ist jetzt wie sieht das Koordinatensytem aus im dem das "Objekt der Begierde" gezeichnet werde soll? x / -x und y / -y?

    Du denkst doch etwa nicht Trasher ich werde das jetzt Zeichen, Ausrechnen und dann das Ergebniss Einscannen und dir per Mail zu schicken?




















    Bahnhof?
    Zezowate szczęście ?

    Zezowate szczęście

  2. #8
    Vollkommener Meister
    Registriert seit
    23.05.2003
    Ort
    Der rote Raum
    Beiträge
    551

    Standard

    Wie meinst du das jetzt? Ich bin kein Mathegenie, aber links vom "/" steht immer x und Rechts y, oder nicht?
    What if everything around you isn't quite as it seems?
    What if all the world you used to know is an elaborate dream?

  3. #9
    Ritter des Ostens
    Themenstarter

    Registriert seit
    10.04.2002
    Beiträge
    4.116

    Standard

    was isn das für ein fünfeck, soll ich mir da jetzt ein koordinatensystem malen oder was?
    Kannste tun. Tut aber eigentlich nix zur Sache. Der Algorithmus muß mit einer Punktmenge zurechtkommen, mehr steht nicht zur Verfügung.
    Da eine Punktmenge eine Fläche eindeutig definiert und eine Fläche einen eindeutigen Flächeninhalt besitzt, muß diese Information reichen.

    Die Fläche sieht beispielhaft so aus:


    Bitte genauer! Sind das jetzt Koordinaten oder Zahlen ohne Maßeinheiten?
    Das sind x-y-Koordinaten ohne Maßeinheiten. Wenn Dir die Lösung leichter fällt, dann nimm halt an, daß es sich um mm handelt.

    in dreiecke zerlegen?
    Ja, das war auch mein erster Gedanke, aber wie löst man die Sache mit den Überschneidungen? Denk dran, nicht ich muß den Flächeninhalt berechnen sondern ein Rechner.

  4. #10
    Vorgesetzter und Richter
    Registriert seit
    11.09.2004
    Ort
    Wuppertal
    Beiträge
    913

    Standard

    Ein Pentagramm?




    Was für ein Mathelehrer hast du?





    Den Fürst der Finsternis?
    Zezowate szczęście ?

    Zezowate szczęście

  5. #11
    Ritter des Ostens
    Themenstarter

    Registriert seit
    10.04.2002
    Beiträge
    4.116

    Standard

    Ich wußte, daß das Pentagramm nicht unkommentiert bleiben würde.

  6. #12
    Lehrling
    Registriert seit
    13.06.2002
    Beiträge
    36

    Standard


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    Nach etwas Nachdenken ist mir ne allgemeine Lösungsmöglichkeit (mittels Integration) für das Problem eingefallen. Ich versuche mal, diese wiederzugeben:

    Wir haben ein Fünfeck mit P1=[15|0]; P2=[90|25], P3=[90,65], P4=[55|90], P5=[0|75]

    Zuerst kuckst du, welcher Punkt am meisten links in der Ebene liegt, also die kleinste X-Koordinate hat. In deinem Beispiel ist das P5. Dann überlegen wir uns, welcher Punkt am weitesten rechts in der Ebene liegt, also die größte X-Koordinate hat. In unserem fall sind das P2 und P3, wobei P3 eine größere Y-Koordinate hat.

    Als nächstes verbinden wir die beiden (oder eben drei, manchmal auch vier) Eckpunkte, und zwar entlang der Linien des n-Ecks, in unserem Fall also einmal
    P5-P4-P3 (diese Linie beschreibt den oberen Weg)
    und
    P5-P2 (diese Linie beschreibt den unteren Weg)
    Die Verbindung P2-P3 ist in unserem Fall nicht wichtig.

    Der nächste Schritt besteht nun darin, für diese beiden Verbindungslinien je eine Funktion, die diese beschreibt, zu finden. Das geht natürlich einfach über zusammengesetzte Funktionen.

    Beginnen wir mit der Funktion für den oberen Weg (im folgenden o(x) genannt). Diese teilt sich auf in zwei Teilfunktionen, einmal für die Strecke P1-P4 (o1(x) im folgenden) und P4-P3 (o2(x) im folgenden)

    o1(x) ist damit (x(pn) und y(pn) bezeichnen die x- bzw. y-Koordinaten der beiden Punkte):
    o1(x)=(y(p4)-y(p5))/(x(p4)-x(p5)) * x + x(p5) für
    o1(x)=(90-75)/(55-0)*x+0
    o1(x)=3/11*x

    und o2(x):
    o2(x)=(y(p3)-y(p4))/(x(p3)-x(p4)) * x + x(p3)
    o2(x)=(65-90)/(90-55) * x + 55
    o2(x)=-5/7*x+55

    Analog ergibt sich für die Funktion des unteren Wegs u(x):

    u(x)=(y(p1)-y(p5))/(x(p1)-x(p5)) * x + x(p5)
    u(x)=(0-75)/(15-0) * x + 0
    u(x)=-5x

    Bis jetzt noch mitgekommen? Gut, das war der einfache Teil . Jetzt wird nämlich integriert...

    Der Trick ist nämlich jetzt einfach, die Fläche unter der oberen Linie zu berechnen, die ja genau die Fläche des Fünfecks plus die Fläche des Bereichs zwischen Fünfeck und x-Achse ist, und dann davon die Fläche unter der unteren Linie, die ja genau die Fläche zwischen Fünfeck und x-Achse ist, abzuziehen. Damit erhält man dann die Fünfecksfläche.
    Also (Edit: Die Fragezeichen sind Integralzeichen, blödes Opera):
    A=?o(x)dx - ?u(x)dx, beide Integrale natürlich im Bereich des Fünfecks, also von x(p5) nach x(p2) bzw. x(p3). Für das Integral von o(x) erhalten wir:

    ?o(x)dx = ?o1(x)dx + ?o2(x)dx, natürlich wieder in den entsprechenden Geltungsbereichen. Und weiter:

    ?o(x)dx=?(3/11*x)dx+?(-5/7*x+55)dx
    ?o(x)dx=[3/22*x²] + [-5/14*x²+55x], beides in den Geltungsbereichen.
    Also:
    ?o(x)dx=3/22*x(p4)²-3/22*x(p5)² - 5/14*x(p3)²-55*x(p3) + 5/14*x(p4)^2 + 55*x(p4)
    ?o(x)dx=...

    Das selbe für das untere Integral und du bist fertig.

    Also Zusammenfassung:
    • Wege bestimmen
    • Wegfunktionen bestimmen
    • Integrale ausrechnen
    • Integrale voneinander abziehen
    • Fertig


    Eigentlich doch vergleichsweise einfach dafür, dass du den Flächeninhalt jedes beliebigen n-Ecks damit bestimmen kannst...

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